10 Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифагора.

Решение:

Теорема, обратная теореме Пифагора: Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то против этой стороны лежит прямой угол.

Доказательство:

1. Пусть дан треугольник ABC, в котором квадрат одной стороны, например \( c^2 \), равен сумме квадратов двух других сторон: \( c^2 = a^2 + b^2 \).
2. Построим прямоугольный треугольник A'B'C' с катетами \( a' = a \) и \( b' = b \).
3. По теореме Пифагора для треугольника A'B'C' квадрат его гипотенузы \( c'^2 \) равен: \( c'^2 = a'^2 + b'^2 = a^2 + b^2 \).
4. Из условия известно, что \( c^2 = a^2 + b^2 \).
5. Следовательно, \( c^2 = c'^2 \), а так как стороны — это положительные величины, то \( c = c' \).
6. Таким образом, треугольник ABC и треугольник A'B'C' имеют три равные стороны (по первому признаку равенства треугольников: по трем сторонам).
7. Следовательно, треугольники ABC и A'B'C' равны.
8. Поскольку в треугольнике A'B'C' угол против стороны \( c' \) прямой (равен \( 90^{\circ} \)), то и в равном ему треугольнике ABC угол против стороны \( c \) также прямой.

Ответ: Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то угол против этой стороны прямой.