7 Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей двух треугольников, имеющих по равному углу.

Решение:

Теорема: Отношение площадей двух треугольников, имеющих по равному углу, равно отношению произведений сторон, заключающих эти равные углы.

Доказательство:

1. Пусть даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁ с равными углами \( \angle A = \angle A_1 \).
2. Пусть \( S_{ABC} \) и \( S_{A_1B_1C_1} \) — их площади.
3. Площадь треугольника ABC можно выразить как \( S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A \).
4. Площадь треугольника A₁B₁C₁ можно выразить как \( S_{A_1B_1C_1} = \frac{1}{2} A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin A_1 \).
5. Так как \( \angle A = \angle A_1 \), то \( \sin A = \sin A_1 \).
6. Найдем отношение площадей:
\( \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{\frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A}{\frac{1}{2} A_1B_1 \cdot A_1C_1 \cdot \sin A_1} \)
7. Сокращая \( \frac{1}{2} \) и \( \sin A \) (так как \( \sin A = \sin A_1 \)), получаем:
\( \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}} = \frac{AB \cdot AC}{A_1B_1 \cdot A_1C_1} \)

Ответ: Отношение площадей двух треугольников с равным углом равно отношению произведений сторон, прилежащих к этим углам.