6 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади треугольника. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам?

Решение:

Теорема: Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Доказательство:

1. Пусть дан треугольник ABC. Проведем высоту BH к основанию AC.
2. Построим параллелограмм ABCE, проведя через вершину B прямую, параллельную AC, и через вершину C прямую, параллельную AB.
3. Площадь параллелограмма ABCE равна произведению основания AC на высоту BH, то есть \( S_{ABCE} = AC \cdot BH \).
4. Диагональ BC делит параллелограмм ABCE на два равных треугольника ABC и CBA.
5. Следовательно, площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABCE.
6. \( S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCE} = \frac{1}{2} (AC \cdot BH) \).

Формула: \( S = \frac{1}{2} a \cdot h_a \), где \( S \) — площадь, \( a \) — длина основания, \( h_a \) — высота, проведенная к этому основанию.

Площадь прямоугольного треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Это следует из теоремы о площади треугольника, так как катеты прямоугольного треугольника являются его основанием и высотой.

Формула: \( S = \frac{1}{2} a \cdot b \), где \( a \) и \( b \) — длины катетов.

Ответ: Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту: \( S = \frac{1}{2} a \cdot h_a \). Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \( S = \frac{1}{2} a \cdot b \).