9 Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.

Решение:

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство (одно из многих):

1. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с катетами \( a \) и \( b \) и гипотенузой \( c \). \( \angle C = 90^{\circ} \).
2. Построим квадрат со стороной \( a+b \).
3. Разместим внутри этого квадрата четыре копии треугольника ABC так, чтобы их гипотенузы образовывали квадрат со стороной \( c \) в центре.
4. Площадь большого квадрата равна \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).
5. Площадь четырех треугольников равна \( 4 \cdot \frac{1}{2} ab = 2ab \).
6. Площадь центрального квадрата равна \( c^2 \).
7. Площадь большого квадрата также равна сумме площадей четырех треугольников и центрального квадрата: \( (a+b)^2 = 2ab + c^2 \).
8. Приравнивая два выражения для площади большого квадрата:
\( a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 \)
9. Вычитая \( 2ab \) из обеих частей, получаем:
\( a^2 + b^2 = c^2 \)

Формула: \( a^2 + b^2 = c^2 \), где \( a \) и \( b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза прямоугольного треугольника.

Ответ: Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов: \( a^2 + b^2 = c^2 \).