8 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади трапеции.

Решение:

Теорема: Площадь трапеции равна половине произведения суммы ее оснований на высоту.

Доказательство:

1. Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AB = \( a \) и CD = \( b \), и высотой \( h \).
2. Проведем диагональ AC. Диагональ разбивает трапецию на два треугольника: ABC и ADC.
3. Площадь треугольника ABC равна \( S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot h = \frac{1}{2} a \cdot h \), где \( h \) — высота, проведенная к основанию AB (или ее продолжению), которая также является высотой трапеции.
4. Площадь треугольника ADC равна \( S_{ADC} = \frac{1}{2} CD \cdot h = \frac{1}{2} b \cdot h \), где \( h \) — высота, проведенная к основанию CD, которая также является высотой трапеции.
5. Площадь трапеции ABCD равна сумме площадей этих двух треугольников:
\( S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = \frac{1}{2} a \cdot h + \frac{1}{2} b \cdot h \)
6. Вынесем общий множитель \( \frac{1}{2} h \):
\( S_{ABCD} = \frac{1}{2} h (a + b) \)

Формула: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( S \) — площадь, \( a \) и \( b \) — длины оснований, \( h \) — высота трапеции.

Ответ: Площадь трапеции равна полусумме ее оснований, умноженной на высоту: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \).