5 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади параллелограмма.

Решение:

Теорема: Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Доказательство:

1. Пусть дан параллелограмм ABCD, у которого сторона AB = \( a \) и высота, проведенная к ней, равна \( h \).
2. Опустим из вершины D высоту DE на сторону AB (или ее продолжение), тогда DE = \( h \).
3. Опустим из вершины C высоту CF на сторону AB (или ее продолжение), тогда CF = \( h \).
4. Рассмотрим прямоугольник DEFC. Его площадь равна \( DE \cdot DF \).
5. Рассмотрим треугольники ADE и BCF. Они прямоугольные, имеют равные гипотенузы (AD = BC, так как это стороны параллелограмма) и равные катеты DE = CF = \( h \). Следовательно, эти треугольники равны по гипотенузе и катету.
6. Площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника DEFC минус площадь треугольника BCF плюс площадь треугольника ADE.
7. Так как треугольники ADE и BCF равны, то их площади равны.
8. Следовательно, площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника DEFC, то есть \( DE \cdot DF \).
9. Заметим, что \( DF \) равно высоте \( h \), если вершина D опущена на продолжение AB, а \( DF = AB = a \) если высота опущена на основание AB.

Формула: \( S = a \cdot h \), где \( S \) — площадь, \( a \) — длина стороны, \( h \) — высота, проведенная к этой стороне.

Ответ: Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне: \( S = a \cdot h \).