10. Сколько существует натуральных \( a \), при которых \( \frac{1}{6} < \frac{a}{42} < \frac{3}{7} \)?

Решение:

1. Приведем все дроби к общему знаменателю 42.
2. \( \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \frac{7}{42} \)
3. \( \frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{18}{42} \)
4. Неравенство примет вид: \( \frac{7}{42} < \frac{a}{42} < \frac{18}{42} \).
5. Из этого следует, что \( 7 < a < 18 \).
6. Натуральные числа \( a \), удовлетворяющие этому условию: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17.
7. Всего таких чисел 10.

Ответ: 10.