10. \(\sqrt{31-8\sqrt{15}}\cdot(\sqrt{15}+4)\)

Представим подкоренное выражение как квадрат разности:

\[31-8\sqrt{15}=16-8\sqrt{15}+15=(4-\sqrt{15})^2.\]

Так как \(4>\sqrt{15}\), то \(\sqrt{(4-\sqrt{15})^2}=4-\sqrt{15}\).

\[(4-\sqrt{15})(\sqrt{15}+4)=16-15=1.\]

Ответ: \(1\)