10. Три числа, сумма которых равна 45, являются последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии. Найдите эти числа, если известно, что при уменьшении их соответственно на 3, 5 и 2 будут получены последовательные члены геометрической прогрессии.

Дано:

• Три числа — последовательные члены возрастающей арифметической прогрессии.
• Сумма чисел = 45.
• При уменьшении на 3, 5 и 2 соответственно, числа становятся членами геометрической прогрессии.
• Найти эти три числа.

Решение:

1. Обозначим числа:
   • Пусть числа арифметической прогрессии будут: a - d, a, a + d. (где d > 0, так как прогрессия возрастающая)
   • Их сумма: (a - d) + a + (a + d) = 3a = 45.
   • Отсюда находим среднее число: a = 45 / 3 = 15.
   • Числа имеют вид: 15 - d, 15, 15 + d.
2. Сформируем члены геометрической прогрессии:
   • Первый член геометрической прогрессии: (15 - d) - 3 = 12 - d
   • Второй член геометрической прогрессии: 15 - 5 = 10
   • Третий член геометрической прогрессии: (15 + d) - 2 = 13 + d
3. Используем свойство членов геометрической прогрессии:
   • Квадрат среднего члена равен произведению крайних членов: b₂² = b₁ · b₃
   • 10² = (12 - d)(13 + d)
   • 100 = 156 + 12d - 13d - d²
   • 100 = 156 - d - d²
   • d² + d + 100 - 156 = 0
   • d² + d - 56 = 0
4. Решаем квадратное уравнение относительно d:
   • D = 1² - 4(1)(-56) = 1 + 224 = 225
   • \( \sqrt{D} = 15 \)
   • d₁ = \( \frac{-1 + 15}{2} \) = \( \frac{14}{2} \) = 7
   • d₂ = \( \frac{-1 - 15}{2} \) = \( \frac{-16}{2} \) = -8
5. Выбираем подходящее значение d:
   • Так как прогрессия возрастающая, d должно быть положительным. Значит, d = 7.
6. Находим искомые числа:
   • Первое число: 15 - d = 15 - 7 = 8
   • Второе число: 15
   • Третье число: 15 + d = 15 + 7 = 22

Ответ: 8, 15, 22