9. В геометрической прогрессии с положительными членами (bn) известно, что b₁ + b₂ = 12, b₃ + b₄ = 300. Найдите номер члена этой прогрессии, который равен 1250.

Дано:

• Геометрическая прогрессия, все члены положительные.
• b₁ + b₂ = 12
• b₃ + b₄ = 300
• Найти: номер члена (n), если b
  _n = 1250.

Решение:

1. Запишем условия через первый член (b₁) и знаменатель (q):
   • b₁ + b₁q = 12 => b₁(1 + q) = 12 (1)
   • b₁q² + b₁q³ = 300 => b₁q²(1 + q) = 300 (2)
2. Найдем знаменатель прогрессии (q):
   • Разделим уравнение (2) на уравнение (1):
   • \( \frac{b₁q²(1 + q)}{b₁(1 + q)} = \frac{300}{12} \)
   • q² = 25
   • Так как все члены прогрессии положительные, q = 5.
3. Найдем первый член прогрессии (b₁):
   • Подставим q = 5 в уравнение (1):
   • b₁(1 + 5) = 12
   • b₁(6) = 12
   • b₁ = 2
4. Найдем номер члена (n), равного 1250:
   • Используем формулу n-го члена: b
     _n = b₁ · q^n-1
   • 1250 = 2 · 5^n-1
   • 1250 / 2 = 5^n-1
   • 625 = 5^n-1
   • Так как 625 = 5⁴, то:
   • 5⁴ = 5^n-1
   • Приравниваем показатели степени:
   • 4 = n - 1
   • n = 5

Ответ: 5