6. Последовательность 2, 10, 18, ... является арифметической прогрессией. Решите уравнение 2 + 10 + 18 + ... + x = 182.

Дано:

• Арифметическая прогрессия: 2, 10, 18, ...
• Уравнение: 2 + 10 + 18 + ... + x = 182
• Найти: x

Решение:

1. Определяем параметры арифметической прогрессии:
   • Первый член (a₁) = 2
   • Разность (d) = 10 - 2 = 8
2. Находим количество членов (n) в сумме:
   • Используем формулу суммы n членов: S
     _n = \( \frac{2a₁ + (n - 1)d}{2} \) n
   • Подставляем известные значения: 182 = \( \frac{2 · 2 + (n - 1)8}{2} \) n
   • 182 = \( \frac{4 + 8n - 8}{2} \) n
   • 182 = \( \frac{8n - 4}{2} \) n
   • 182 = (4n - 2)n
   • 182 = 4n² - 2n
   • 4n² - 2n - 182 = 0
   • Делим на 2: 2n² - n - 91 = 0
   • Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
   • D = b² - 4ac = (-1)² - 4(2)(-91) = 1 + 728 = 729
   • \( \sqrt{D} = \sqrt{729} = 27 \)
   • n₁ = \( \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \) = \( \frac{1 + 27}{2 · 2} \) = \( \frac{28}{4} \) = 7
   • n₂ = \( \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \) = \( \frac{1 - 27}{2 · 2} \) = \( \frac{-26}{4} \) = -6.5 (не подходит, так как количество членов должно быть натуральным числом)
   • Итак, в сумме 7 членов.
3. Находим последний член (x), который является 7-м членом прогрессии:
   • Используем формулу n-го члена: a
     _n = a
     ₁ + (n - 1)d
   • x = a₇ = 2 + (7 - 1)8
   • x = 2 + 6 * 8
   • x = 2 + 48
   • x = 50

Ответ: 50