7. Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые при делении на 23 дают остаток 13.

Решение:

1. Определяем первое трехзначное число, дающее остаток 13 при делении на 23:
   • Числа, дающие остаток 13 при делении на 23, имеют вид 23k + 13.
   • Самое маленькое трехзначное число — 100.
   • Подбираем k:
   • Если k = 1, 23 * 1 + 13 = 36 (двузначное)
   • Если k = 2, 23 * 2 + 13 = 46 + 13 = 59 (двузначное)
   • Если k = 3, 23 * 3 + 13 = 69 + 13 = 82 (двузначное)
   • Если k = 4, 23 * 4 + 13 = 92 + 13 = 105 (трехзначное). Это первое число.
2. Определяем последнее трехзначное число, дающее остаток 13 при делении на 23:
   • Самое большое трехзначное число — 999.
   • Подбираем k:
   • 999 / 23 ≈ 43.4
   • Возьмем k = 43: 23 * 43 + 13 = 989 + 13 = 1002 (четырехзначное)
   • Возьмем k = 42: 23 * 42 + 13 = 966 + 13 = 979 (трехзначное). Это последнее число.
3. Находим количество таких чисел (n):
   • Числа образуют арифметическую прогрессию: 105, 128, ..., 979.
   • Первый член (a₁) = 105
   • Разность (d) = 23
   • Последний член (a
     _n) = 979
   • Используем формулу n-го члена: a
     _n = a
     ₁ + (n - 1)d
   • 979 = 105 + (n - 1)23
   • 979 - 105 = (n - 1)23
   • 874 = (n - 1)23
   • n - 1 = 874 / 23
   • n - 1 = 38
   • n = 39
4. Находим сумму этих чисел (S
   _n):
   • Используем формулу суммы n членов: S
     _n = \( \frac{a₁ + a
     _{n}}{2} \) n
   • S₃₉ = \( \frac{105 + 979}{2} \) \( · 39
   • S₃₉ = \( \frac{1084}{2} \) \( · 39
   • S₃₉ = 542 \( · 39
   • S₃₉ = 21138

Ответ: 21138