10. Упростить: $\left(\dfrac{b}{a^2-ab}+\dfrac{a}{ab-b^2}\right)\cdot\dfrac{a^2b+ab^2}{a^2+b^2}+1$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 10. Упростить: $\left(\dfrac{b}{a^2-ab}+\dfrac{a}{ab-b^2}\right)\cdot\dfrac{a^2b+ab^2}{a^2+b^2}+1$.$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим знаменатели и числитель на множители: $a^2-ab=a(a-b)$, $ab-b^2=b(a-b)$, $a^2b+ab^2=ab(a+b)$.

Сложим дроби в скобках: $\dfrac{b}{a(a-b)}+\dfrac{a}{b(a-b)}=\dfrac{a^2+b^2}{ab(a-b)}$.

Умножим на вторую дробь и сократим: $\dfrac{a^2+b^2}{ab(a-b)}\cdot\dfrac{ab(a+b)}{a^2+b^2}=\dfrac{a+b}{a-b}$.

Тогда $\dfrac{a+b}{a-b}+1=\dfrac{a+b+a-b}{a-b}=\dfrac{2a}{a-b}$.

Для исходного выражения необходимо $a\ne0$, $b\ne0$, $a\ne b$; при этих ограничениях $a^2+b^2\ne0$.

Ответ: $\dfrac{2a}{a-b}$, при $a\ne0$, $b\ne0$, $a\ne b$.

10. Упростить: \(\left(\dfrac{b}{a^2-ab}+\dfrac{a}{ab-b^2}\right)\cdot\dfrac{a^2b+ab^2}{a^2+b^2}+1\).