10. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 4 см и 3 см. Найдите площадь треугольника.

Обозначим прямоугольный треугольник ABC, где C - прямой угол. Пусть вписанная окружность касается гипотенузы AB в точке D. По условию AD = 4 см, DB = 3 см. Тогда длина гипотенузы AB = 4 + 3 = 7 см. Если в прямоугольном треугольнике вписана окружность, то радиус вписанной окружности r связан со сторонами треугольника a, b и гипотенузой c соотношением: r = (a + b - c) / 2. Также известно, что радиус вписанной окружности можно выразить как: r = S / p, где S - площадь треугольника, а p - полупериметр. Известно свойство, что касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны. Пусть E и F - точки касания окружности со сторонами AC и BC соответственно. Тогда AE = AD = 4, BF = BD = 3. Пусть CE = CF = x. Тогда стороны треугольника будут: AC = 4 + x, BC = 3 + x, AB = 7. По теореме Пифагора: AC² + BC² = AB² (4 + x)² + (3 + x)² = 7² 16 + 8x + x² + 9 + 6x + x² = 49 2x² + 14x + 25 = 49 2x² + 14x - 24 = 0 x² + 7x - 12 = 0 Найдем корни: D = 49 - 4*1*(-12) = 49 + 48 = 97 x = (-7 +- √97) / 2 так как х >0, то x = (-7 + √97) / 2. Значение х не целое. Можно пойти другим путем. Площадь прямоугольного треугольника можно посчитать как S = 0.5 * a * b. Площадь прямоугольного треугольника можно также посчитать по формуле S = p * r, где p-полупериметр, r - радиус вписанной окружности. p = (4 + x + 3 + x + 7)/2 = (14+2x) /2 = 7 + x а + b = 7 + 2r, a = 4+x, b = 3+x => 7+2r = 7 + 2x => r = x Из формулы для радиуса вписанной окружности r = (a+b-c) / 2 следует, что r = (4+x+3+x-7)/2 => r = x Из формулы касательных к окружности: r=sqrt(4*3) = sqrt(12) = 2 * sqrt(3) = x Тогда a = 4 + 2 sqrt(3), b = 3 + 2sqrt(3). S = 1/2 * (4+2sqrt(3)) * (3+2sqrt(3)) = 1/2 * (12 + 8sqrt(3) + 6sqrt(3) + 12) = 1/2 * (24 + 14sqrt(3)) = 12 + 7sqrt(3) Можно посчитать площадь еще проще, используя радиус вписанной окружности: S = r*p = x * (7+x) => S = 2sqrt(3) * (7+2sqrt(3)) = 14 sqrt(3) + 12 S = r * (a+b+c)/2, но при этом a+b = c + 2r S = r*(c+2r+c)/2 = r*(c+r) , где c = 7 , r = sqrt(4*3) = 2 *sqrt(3) S = 2sqrt(3) * (7+2sqrt(3)) = 14sqrt(3) + 12 S = r*p, где p = (7+4+x+3+x)/2 = (14+2x)/2 = 7+x r = x S = (7+x) * x = 7x + x^2 x= sqrt(12) = 2sqrt(3). S = 14sqrt(3) + 12 S = (1/2)* a*b = (1/2) * (4 + x) *(3 + x) = 1/2 * (12+7x+x^2)= 1/2(12+14sqrt(3) + 12) = 12 + 7sqrt(3) **Ответ:** 12+14√3 или 12 + 7√3 (в зависимости от способа расчета)