102. а) Найдите значение выражения: \(\frac{\sin x + \sin (x + \frac{47\pi}{2})}{\cos x + \cos x \cdot \cos 2x}\), если \(\operatorname{tg} x=3\);

Решение:

1. Упростим числитель: \( \sin(x + \frac{47\pi}{2}) = \sin(x + 24\pi - \frac{\pi}{2}) = \sin(x - \frac{\pi}{2}) = -\cos x \).
2. Тогда числитель равен: \( \sin x - \cos x \).
3. Упростим знаменатель: \( \cos x + \cos x \cdot \cos 2x = \cos x (1 + \cos 2x) = \cos x (1 + 2\cos^2 x - 1) = \cos x (2\cos^2 x) = 2\cos^3 x \).
4. Выражение принимает вид: \( \frac{\sin x - \cos x}{2\cos^3 x} = \frac{\operatorname{tg} x - 1}{2\cos^2 x} \).
5. Так как \( \operatorname{tg} x = 3 \), то \( \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \operatorname{tg}^2 x = 1 + 3^2 = 10 \).
6. Подставим значения: \( \frac{3 - 1}{2 \cdot 10} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} \).

Ответ: \(\frac{1}{10}\).