102. б) Найдите значение выражения: \(\frac{\sin x \cdot \sin 2x + \cos (x - \frac{61\pi}{2})}{\cos 2x \cdot \cos x - \cos x}\), если \(\operatorname{tg} x=2\).

Решение:

1. Упростим числитель: \( \cos(x - \frac{61\pi}{2}) = \cos(x - 30\pi - \frac{\pi}{2}) = \cos(x - \frac{\pi}{2}) = \sin x \).
2. Числитель равен: \( \sin x \cdot \sin 2x + \sin x = \sin x (\sin 2x + 1) \).
3. Упростим знаменатель: \( \cos 2x \cdot \cos x - \cos x = \cos x (\cos 2x - 1) = \cos x (1 - 2\sin^2 x - 1) = \cos x (-2\sin^2 x) = -2\sin^2 x \cos x \).
4. Выражение принимает вид: \( \frac{\sin x (\sin 2x + 1)}{-2\sin^2 x \cos x} = \frac{\sin x (2 \sin x \cos x + 1)}{-2\sin^2 x \cos x} \).
5. Разделим числитель и знаменатель на \( \sin^2 x \): \( \frac{2 \operatorname{ctg} x \cos x + \frac{1}{\sin^2 x}}{-2 \cos x} \).
6. Перепишем \( \sin 2x + 1 = 2 \sin x \cos x + 1 \).
7. Выражение: \( \frac{\sin x (2 \sin x \cos x + 1)}{\cos x (\cos 2x - 1)} = \frac{\sin x (2 \sin x \cos x + 1)}{\cos x (1 - 2 \sin^2 x - 1)} = \frac{2 \sin^2 x \cos x + \sin x}{-2 \sin^2 x \cos x} \).
8. Разделим числитель и знаменатель на \( \cos x \): \( \frac{2 \sin^2 x + \operatorname{tg} x}{-2 \sin^2 x} \).
9. Так как \( \operatorname{tg} x = 2 \), то \( \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \operatorname{tg}^2 x = 1 + 2^2 = 5 \).
10. \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \).
11. Подставим значения: \( \frac{2 \cdot \frac{4}{5} + 2}{-2 \cdot \frac{4}{5}} = \frac{\frac{8}{5} + 2}{- \frac{8}{5}} = \frac{\frac{18}{5}}{-\frac{8}{5}} = -\frac{18}{8} = -\frac{9}{4} \).

Ответ: \(-\frac{9}{4}\).