2. Найдите \(\sqrt{5} \cos \alpha, \text{ если } \sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}} \text{ и } \alpha \in (\pi; \frac{3\pi}{2})\)

Решение:

1. Найдем \( \cos^2 \alpha \) по основному тригонометрическому тождеству: \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \).
2. \( \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \).
3. Так как \( \alpha \in (\pi; \frac{3\pi}{2}) \), угол \( \alpha \) находится в третьей четверти, где косинус отрицателен.
4. Следовательно, \( \cos \alpha = -\sqrt{\frac{4}{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} \).
5. Вычислим значение выражения \( \sqrt{5} \cos \alpha \): \( \sqrt{5} \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) = -2 \).

Ответ: -2.