106. Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если: 1) $b_2=-81, S_2=162$; 2) $b_2=33, S_2=67$; 3) $b_1+b_2=130, b_1-b_3=120$; 4) $b_2+b_4=68, b_2-b_4=60$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 106. Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если: 1) $b_2=-81, S_2=162$; 2) \(b_2=33,…$ Фото задания

106. Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если: 1) $b_2=-81, S_2=162$; 2) $b_2=33, S_2=67$; 3) $b_1+b_2=130, b_1-b_3=120$; 4) $b_2+b_4=68, b_2-b_4=60$.

Accepted Answer

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если $|q|<1$.

$b_1+b_2=162$, поэтому $b_1=243$. Тогда $q=\frac{b_2}{b_1}=-\frac13$, следовательно, $|q|=\frac13<1$.
$b_1+33=67$, поэтому $b_1=34$. Тогда $q=\frac{33}{34}$, следовательно, $|q|<1$.
$b_1(1+q)=130$, $b_1(1-q^2)=120$. Делением второго равенства на первое получаем $1-q=\frac{120}{130}=\frac{12}{13}$, откуда $q=\frac1{13}$. Значит, $|q|<1$.
Сложим равенства: $2b_2=128$, поэтому $b_2=64$. Вычитая, получаем $2b_4=8$, поэтому $b_4=4$. Так как $b_4=b_2q^2$, то $q^2=\frac4{64}=\frac1{16}$, следовательно, $q=\pm\frac14$, и $|q|<1$.

Ответ: во всех четырёх случаях прогрессия является бесконечно убывающей.

106. Доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если: 1) \(b_2=-81, S_2=162\); 2) \(b_2=33, S_2=67\); 3) \(b_1+b_2=130, b_1-b_3=120\); 4) \(b_2+b_4=68, b_2-b_4=60\).

Ответ: