108. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, если сумма первых трёх её членов равна 39, а сумма их обратных величин равна \(\frac{13}{27}\).

Пусть первые три члена равны \(a, aq, aq^2\). Тогда их произведение крайних членов равно квадрату среднего:

\[a\cdot aq^2=(aq)^2.\]

По условию:

\[\frac1a+\frac1{aq}+\frac1{aq^2}=\frac{a+aq+aq^2}{(aq)^2}=\frac{39}{(aq)^2}=\frac{13}{27}.\]

Отсюда \((aq)^2=81\), а так как члены положительные, \(aq=9\). Тогда крайние члены в сумме дают \(39-9=30\), а их произведение равно \(81\). Следовательно, это \(27\) и \(3\). Для убывающей прогрессии \(a=27\), \(q=\frac13\).

\[S=\frac{a}{1-q}=\frac{27}{1-\frac13}=\frac{81}{2}.\]

Ответ: \(\frac{81}{2}\).