11. ABCD — равнобедренная трапеция, AD ∥ BC, AD = 40, BC = 8, AB = CD, ∠ABD = 90°. Найдите S₍ABCD₎.

В равнобедренной трапеции разность оснований делится поровну между боковыми сторонами: горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна \(\frac{40-8}{2}=16\).

Расположим основания горизонтально: можно взять B = (16, h), C = (24, h), A = (0, 0), D = (40, 0). Тогда \(\overrightarrow{BA}=(-16,-h)\), \(\overrightarrow{BD}=(24,-h)\). Условие \(AB\perp BD\) даёт \((-16)\cdot24+h^2=0\), поэтому \(h^2=384\) и \(h=8\sqrt{6}\).

Площадь трапеции: \(S=\frac{AD+BC}{2}\cdot h=\frac{40+8}{2}\cdot8\sqrt{6}=192\sqrt{6}\).

Ответ: \(192\sqrt{6}\).