9. AC = BC, cos ∠B = 1/3. На рисунке AN ⟂ BC и CM ⟂ AB. Найдите AN/CM.

Обозначим общую длину равных сторон AC и BC через a. Так как AC = BC, углы A и B равны. Высота AN выражается как \(AN=AB\sin B\), а высота CM — как \(CM=BC\sin A\). Поскольку \(A=B\), получаем \(\frac{AN}{CM}=\frac{AB}{BC}\).

Из \(\cos B=\frac{1}{3}\) следует \(\cos A=\frac{1}{3}\). По теореме косинусов в треугольнике ABC: \(AB^2=a^2+a^2-2a^2\cos C\). Так как \(C=180°-2B\), то \(\cos C=-\cos2B=-(2\cos^2B-1)=\frac{7}{9}\). Поэтому \(AB^2=\frac{4a^2}{9}\), то есть \(AB=\frac{2a}{3}\).

Следовательно, \(\frac{AN}{CM}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}\).

Ответ: \(\frac{2}{3}\).