11. Докажите, что верно равенство $\frac1{(a-b)(a-c)}+\frac1{(b-a)(b-c)}+\frac1{(c-a)(b-c)}=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 11. Докажите, что верно равенство $\frac1{(a-b)(a-c)}+\frac1{(b-a)(b-c)}+\frac1{(c-a)(b-c)}=0$.$ Фото задания

Accepted Answer

Приведём дроби к общему знаменателю $(a-b)(a-c)(b-c)$, учитывая, что $b-a=-(a-b)$, а $c-a=-(a-c)$:

$\frac1{(a-b)(a-c)}+\frac1{(b-a)(b-c)}+\frac1{(c-a)(b-c)}=\frac{b-c-(a-c)+(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$.

Числитель равен $b-c-a+c+a-b=0$, поэтому вся дробь равна нулю. Равенство доказано при попарно различных $a,b,c$.

11. Докажите, что верно равенство \(\frac1{(a-b)(a-c)}+\frac1{(b-a)(b-c)}+\frac1{(c-a)(b-c)}=0\).