11 Какой угол называется вписанным? Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле.

Определение вписанного угла:

Вписанным углом в окружность называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Теорема о вписанном угле:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство:

Существует три случая расположения центра окружности относительно вписанного угла:

Случай 1: Центр окружности лежит на одной из сторон вписанного угла.

Пусть \(\angle ABC\) — вписанный угол, вершина B лежит на окружности, сторона BC проходит через центр окружности O. Сторона BA пересекает окружность в точке A. Дуга, на которую опирается \(\angle ABC\), — это дуга AC.

Рассмотрим \(\triangle OAB\). OA и OB — радиусы, поэтому \(\triangle OAB\) — равнобедренный. Следовательно, \(\angle OAB = \angle OBA\) (углы при основании).

Угол \(\angle AOC\) — центральный угол, опирающийся на дугу AC. \(\angle AOC\) является внешним углом \(\triangle OAB\). Поэтому \(\angle AOC = \angle OAB + \angle OBA = 2 \angle OBA = 2 \angle ABC\).

Таким образом, \(\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC\). Так как \(\angle AOC\) — центральный угол, опирающийся на дугу AC, то \(\angle ABC = \frac{1}{2} m\stackrel{\frown}{AC}\).

Случай 2: Центр окружности лежит внутри вписанного угла.

Проведём через вершину вписанного угла B и центр окружности O диаметр BD. Диаметр BD делит \(\angle ABC\) на два угла: \(\angle ABD\) и \(\angle DBC\). Он также делит дугу AC на две дуги: AD и DC.

Поскольку центр O лежит на стороне BD, мы можем применить результат из Случая 1:

\(\angle ABD = \frac{1}{2} m\stackrel{\frown}{AD}\)

\(\angle DBC = \frac{1}{2} m\stackrel{\frown}{DC}\)

Сложив эти равенства, получим:

\(\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = \frac{1}{2} m\stackrel{\frown}{AD} + \frac{1}{2} m\stackrel{\frown}{DC} = \frac{1}{2} (m\stackrel{\frown}{AD} + m\stackrel{\frown}{DC}) = \frac{1}{2} m\stackrel{\frown}{AC}\).

Случай 3: Центр окружности лежит вне вписанного угла.

Проведём через вершину B и центр O диаметр BD. Рассмотрим \(\angle ABC\) как разность двух углов: \(\angle ABD - \angle CBD\).

По результатам из Случая 1:

\(\angle ABD = \frac{1}{2} m\stackrel{\frown}{AD}\)

\(\angle CBD = \frac{1}{2} m\stackrel{\frown}{CD}\)

Тогда:

\(\angle ABC = \angle ABD - \angle CBD = \frac{1}{2} m\stackrel{\frown}{AD} - \frac{1}{2} m\stackrel{\frown}{CD} = \frac{1}{2} (m\stackrel{\frown}{AD} - m\stackrel{\frown}{CD})\).

Так как \(m\stackrel{\frown}{AD} - m\stackrel{\frown}{CD} = m\stackrel{\frown}{AC}\), то \(\angle ABC = \frac{1}{2} m\stackrel{\frown}{AC}\).

Во всех случаях \(\angle ABC = \frac{1}{2} m\stackrel{\frown}{AC}\).

Что и требовалось доказать.