14 Сформулируйте и докажите теорему об отрезках пересекающихся хорд.

Теорема об отрезках пересекающихся хорд:

Если две хорды окружности пересекаются внутри неё, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство:

Пусть хорды AB и CD пересекаются в точке P внутри окружности. Необходимо доказать, что AP \(\cdot\) PB = CP \(\cdot\) PD.

Рассмотрим треугольники \(\triangle APC\) и \(\triangle DPB\):

1. \(\angle PAC = \angle PDC\) (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу BC).
2. \(\angle PCA = \angle PBD\) (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу AD).
3. \(\angle APC = \angle DPB\) (вертикальные углы).

Следовательно, \(\triangle APC \sim \triangle DPB\) по двум углам (или по трём).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

\(\frac{AP}{DP} = \frac{CP}{BP}\)

Перекрёстно умножив, получим:

AP \(\cdot\) BP = CP \(\cdot\) DP

Что и требовалось доказать.