4 Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной.

Теорема о свойстве касательной:

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке O и касательная a, которая касается окружности в точке A. Необходимо доказать, что радиус OA перпендикулярен касательной a.

Рассмотрим прямую a. Если бы OA не был перпендикулярен a, то можно было бы провести из точки O перпендикуляр OB к прямой a (где B — некоторая точка на прямой a, отличная от A).

В этом случае OB был бы кратчайшим расстоянием от центра окружности O до прямой a. Так как прямая a является касательной, она имеет только одну общую точку с окружностью — точку A. Это означает, что все остальные точки прямой a находятся вне окружности. Следовательно, расстояние от O до любой точки на прямой a, кроме A, больше радиуса R.

Если OB — перпендикуляр, то OB < OA (где OA = R, так как A — точка касания). Но OB — это кратчайшее расстояние от O до прямой a, и если B ≠ A, то OB < R. Это противоречит тому, что A — единственная точка касания, и все остальные точки прямой находятся вне окружности.

Следовательно, перпендикуляром из центра O к касательной a может быть только отрезок OA. Таким образом, радиус OA перпендикулярен касательной a.

Что и требовалось доказать.