5 Докажите, что отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром O. Из точки P проведены две касательные к окружности, касающиеся её в точках A и B соответственно. Необходимо доказать, что PA = PB и \(\angle OPA = \angle OPB\).

Рассмотрим треугольники \(\triangle OAP\) и \(\triangle OBP\).

1. OA = OB (радиусы окружности).
2. OP — общая сторона для обоих треугольников.
3. \(\angle OAP = \angle OBP = 90^{\circ}\) (по теореме о свойстве касательной, так как OA и OB — радиусы, проведённые в точки касания).

Таким образом, \(\triangle OAP\) и \(\triangle OBP\) являются прямоугольными треугольниками с равными катетом (радиусом) и равной гипотенузой (отрезком OP). По признаку равенства прямоугольных треугольников (по катету и гипотенузе), \(\triangle OAP = \triangle OBP\).

Из равенства треугольников следует, что соответствующие стороны и углы равны:

• PA = PB (отрезки касательных равны).
• \(\angle OPA = \angle OPB\) (углы, которые отрезки касательных составляют с прямой, проходящей через P и O, равны).

Что и требовалось доказать.