6 Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о свойстве касательной.

Теорема, обратная теореме о свойстве касательной:

Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то эта прямая является касательной к окружности.

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром O. Прямая a проходит через точку A окружности и перпендикулярна радиусу OA. Необходимо доказать, что прямая a является касательной к окружности.

Предположим противное: прямая a не является касательной. Это означает, что она пересекает окружность в двух точках. Пусть A — одна из этих точек. Тогда прямая a должна иметь ещё одну точку пересечения с окружностью, назовём её B.

Рассмотрим \(\triangle OAB\). Так как OA и OB — радиусы одной окружности, то OA = OB. Следовательно, \(\triangle OAB\) — равнобедренный треугольник.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \(\angle OAB = \angle OBA\).

С другой стороны, по условию, прямая a перпендикулярна радиусу OA. Это означает, что \(\angle OAB = 90^{\circ}\).

Если \(\angle OAB = 90^{\circ}\), то и \(\angle OBA = 90^{\circ}\) (из равенства углов при основании). Сумма углов в \(\triangle OAB\) равна \(\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = \angle AOB + 90^{\circ} + 90^{\circ} = \angle AOB + 180^{\circ}\).

Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Следовательно, \(\angle AOB + 180^{\circ} = 180^{\circ}\), что означает \(\angle AOB = 0^{\circ}\). Это возможно только в том случае, если точки A и B совпадают, то есть прямая a имеет только одну точку пересечения с окружностью.

Таким образом, наше предположение о том, что прямая a пересекает окружность в двух точках, неверно. Следовательно, прямая a имеет только одну общую точку с окружностью (точку A) и является касательной к ней.

Что и требовалось доказать.