11. MFEК — параллелограмм. Доказать, что \(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{EN}=\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{FM}\).

Обозначим \(\overrightarrow{MF}=\vec a\), \(\overrightarrow{MN}=\vec b\). Тогда \(\overrightarrow{ME}=\vec a+\vec b\), а так как диагонали параллелограмма делятся пополам, \(\overrightarrow{MO}=\overrightarrow{OF}=\frac12(\vec a+\vec b)\).

Кроме того, \(\overrightarrow{FE}=\vec b\), \(\overrightarrow{EN}=-\vec a\), \(\overrightarrow{FM}=-\vec a\).

Левая часть:

\[\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{FE}+\overrightarrow{OF}+\overrightarrow{EN}=\frac12(\vec a+\vec b)+\vec b+\frac12(\vec a+\vec b)-\vec a=\vec b.\]

Правая часть:

\[\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{FM}=(\vec a+\vec b)-\vec a=\vec b.\]

Ответ: левая и правая части равны \(\vec b\), равенство доказано.