14. MNKP — параллелограмм. Точка A — середина NK, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{OM}\) и \(\overrightarrow{MA}\) через векторы \(\overrightarrow{MP}=\vec a\) и \(\overrightarrow{MN}=\vec b\).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Положим \(M\) началом отсчёта. Тогда \(\overrightarrow{MP}=\vec a\), \(\overrightarrow{MN}=\vec b\), а \(\overrightarrow{MK}=\vec a+\vec b\).

Диагонали параллелограмма делятся пополам, поэтому

\[\overrightarrow{MO}=\frac12(\vec a+\vec b),\qquad \overrightarrow{OM}=-\frac12(\vec a+\vec b).\]

Так как A — середина NK,

\[\overrightarrow{NA}=\frac12\overrightarrow{NK}=\frac12\vec a.\]

Следовательно,

\[\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NA}=\vec b+\frac12\vec a.\]

Ответ: \(\overrightarrow{OM}=-\frac12(\vec a+\vec b)\), \(\overrightarrow{MA}=\frac12\vec a+\vec b\).