11. Прямоугольник ABCD: CD = 4√3; точка E лежит на AC, BE ⟂ AC, BE = 6, ∠BAE = 60°. Найти.

Треугольник ABE прямоугольный при E. По теореме синусов для прямоугольного треугольника \(BE/AB=\sin60°\), поэтому \(AB=6/(\sqrt3/2)=4\sqrt3\).

В прямоугольнике \(AB=CD=4\sqrt3\), а \(BC=AD\). Угол между AB и AC равен 60°, следовательно, \(\tan60°=BC/AB\). Значит, \(BC=4\sqrt3\cdot\sqrt3=12\).

Если требуется площадь: \(S=AB\cdot BC=4\sqrt3\cdot12=48\sqrt3\).

Ответ: BC = 12; площадь прямоугольника — 48√3.