11. Решите неравенство (метод интервалов): \( \frac{x^2-3x}{x-2} \ge 0 \)

Решение:

1. Найдем корни числителя и знаменателя.
• Числитель: \( x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x-3) = 0 \). Корни: \( x_1 = 0 \), \( x_2 = 3 \).
• Знаменатель: \( x - 2 = 0 \). Корень: \( x_3 = 2 \).
2. Отметим корни на числовой оси и определим знаки интервалов. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \( x
   e 2 \).
3. Интервалы: \( (-\infty; 0], [0; 2), (2; 3], [3; +\infty) \).
4. Проверим знаки в каждом интервале:
• При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( \frac{(-1)^2 - 3(-1)}{-1 - 2} = \frac{1+3}{-3} = \frac{4}{-3} < 0 \).
• При \( 0 \le x < 2 \) (например, \( x = 1 \)): \( \frac{1^2 - 3(1)}{1 - 2} = \frac{1-3}{-1} = \frac{-2}{-1} = 2 > 0 \).
• При \( 2 < x \le 3 \) (например, \( x = 2.5 \)): \( \frac{(2.5)^2 - 3(2.5)}{2.5 - 2} = \frac{6.25 - 7.5}{0.5} = \frac{-1.25}{0.5} < 0 \).
• При \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)): \( \frac{4^2 - 3(4)}{4 - 2} = \frac{16 - 12}{2} = \frac{4}{2} = 2 > 0 \).
5. Нам нужно, где выражение \( \ge 0 \).

Ответ: \( [0; 2) \cup [3; +\infty) \).