4. Вычислите значение выражения: sin 2x, если cos x = \(\frac{2}{3}\), x \(\in\) I ч.

Решение:

1. Используем формулу двойного угла для синуса: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \).
2. Нам известно \( \cos x = \frac{2}{3} \).
3. Найдем \( \sin x \) с помощью основного тригонометрического тождества: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \).
4. \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{9-4}{9} = \frac{5}{9} \).
5. Так как \( x \) принадлежит I четверти (I ч.), то \( \sin x > 0 \).
6. \( \sin x = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \).
7. Теперь подставим значения \( \sin x \) и \( \cos x \) в формулу двойного угла:
8. \( \sin 2x = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot \sqrt{5} \cdot 2}{3 \cdot 3} = \frac{4\sqrt{5}}{9} \).

Ответ: \( \frac{4\sqrt{5}}{9} \).