16. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, M – середина ребра AD, S – вершина. Известно, что BC=2, а SM=5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

Правильная четырехугольная пирамида имеет в основании квадрат. Боковая поверхность состоит из четырех равных равнобедренных треугольников.

1. Основание пирамиды:
• Так как пирамида четырехугольная правильная, в основании лежит квадрат ABCD.
• Сторона квадрата \( BC = 2 \).
2. Площадь боковой поверхности:
• Площадь боковой поверхности равна сумме площадей четырех боковых граней.
• Каждая боковая грань — это треугольник (например, \( \triangle SBC \)).
• Высота боковой грани, проведенная из вершины S к основанию BC, — это апофема пирамиды.
• В данном случае SM — это апофема, так как M — середина AD, а в правильной пирамиде апофема перпендикулярна основанию боковой грани.
• \( SM = 5 \) (апофема).
• Площадь одного бокового треугольника (например, \( \triangle SBC \)) равна \( S_{бок.гран.}=\frac{1}{2} \cdot основание \cdot апофема \)
• \( S_{\triangle SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 5 = 5 \).
• Площадь боковой поверхности пирамиды равна площади четырех таких треугольников:
• \( S_{бок.пов.} = 4 \cdot S_{\triangle SBC} = 4 \cdot 5 = 20 \).

Ответ: 20.