11. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен \(\frac{12}{13}\). Диаметр описанной около него окружности равен 60. Найдите площадь прямоугольника.

Дано:

• Прямоугольник ABCD.
• Синус угла между стороной и диагональю (например, \(\sin(\angle BAC)\)) = \(\frac{12}{13}\).
• Диаметр описанной окружности (d) = 60.

Решение:

Диаметр описанной окружности равен диагонали прямоугольника. Значит, диагональ \(AC = 60\).

Пусть \(\angle BAC = \alpha\). Тогда \(\sin(\alpha) = \frac{12}{13}\).

В прямоугольном треугольнике ABC:

• \(BC = AC \cdot \sin(\alpha) = 60 \cdot \frac{12}{13} = \frac{720}{13}\).
• \(AB = AC \cdot \cos(\alpha)\).
• Найдем \(\cos(\alpha)\) по основному тригонометрическому тождеству: \(\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}\).
• \(\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13}\) (так как угол в треугольнике, косинус положительный).
• \(AB = 60 \cdot \frac{5}{13} = \frac{300}{13}\).

Площадь прямоугольника \(S = AB \cdot BC\).

\(S = \frac{300}{13} \cdot \frac{720}{13} = \frac{216000}{169}\).

Ответ: \(\frac{216000}{169}\)