15. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,6. Диаметр описанной около него окружности равен 5. Найдите площадь прямоугольника.

Дано:

• Прямоугольник ABCD.
• Синус угла между стороной и диагональю (например, \(\sin(\angle BAC)\)) = 0,6.
• Диаметр описанной окружности (d) = 5.

Решение:

Диаметр описанной окружности равен диагонали прямоугольника. Значит, диагональ \(AC = 5\).

Пусть \(\angle BAC = \alpha\). Тогда \(\sin(\alpha) = 0,6 = \frac{3}{5}\).

В прямоугольном треугольнике ABC:

• \(BC = AC \cdot \sin(\alpha) = 5 \cdot 0,6 = 3\).
• \(AB = AC \cdot \cos(\alpha)\).
• Найдем \(\cos(\alpha)\) по основному тригонометрическому тождеству: \(\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64\).
• \(\cos(\alpha) = \sqrt{0,64} = 0,8\) (так как угол в треугольнике, косинус положительный).
• \(AB = 5 \cdot 0,8 = 4\).

Площадь прямоугольника \(S = AB \cdot BC = 4 \cdot 3 = 12\).

Ответ: 12