15. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,6. Диаметр описанной около него окружности равен 5. Найдите площадь прямоугольника.

Задание 15

Дано:

• Прямоугольник.
• Синус угла между стороной и диагональю \( \sin{\alpha} = 0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \).
• Диаметр описанной окружности \( d = 5 \).

Найти: площадь прямоугольника \( S \).

Решение:

Пусть \( \alpha \) — угол между стороной \( b \) и диагональю \( d \). Тогда противолежащий катет равен стороне \( a \).

Используем определение синуса в прямоугольном треугольнике, образованном сторонами прямоугольника и диагональю:

\[ \sin{\alpha} = \frac{a}{d} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{3}{5} = \frac{a}{5} \]

Отсюда находим сторону \( a \):

\[ a = 3 \]

Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности. Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения другой стороны \( b \):

\[ a^2 + b^2 = d^2 \]

\[ 3^2 + b^2 = 5^2 \]

\[ 9 + b^2 = 25 \]

\[ b^2 = 25 - 9 = 16 \]

\[ b = \sqrt{16} = 4 \]

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

\[ S = a \cdot b = 3 \cdot 4 = 12 \]

Ответ: площадь прямоугольника равна 12.