12. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен \(\frac{15}{17}\). Диаметр описанной около него окружности равен 120. Найдите площадь прямоугольника.

Дано:

• Прямоугольник ABCD.
• Синус угла между стороной и диагональю (например, \(\sin(\angle BAC)\)) = \(\frac{15}{17}\).
• Диаметр описанной окружности (d) = 120.

Решение:

Диаметр описанной окружности равен диагонали прямоугольника. Значит, диагональ \(AC = 120\).

Пусть \(\angle BAC = \alpha\). Тогда \(\sin(\alpha) = \frac{15}{17}\).

В прямоугольном треугольнике ABC:

• \(BC = AC \cdot \sin(\alpha) = 120 \cdot \frac{15}{17} = \frac{1800}{17}\).
• \(AB = AC \cdot \cos(\alpha)\).
• Найдем \(\cos(\alpha)\) по основному тригонометрическому тождеству: \(\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - (\frac{15}{17})^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289}\).
• \(\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17}\) (так как угол в треугольнике, косинус положительный).
• \(AB = 120 \cdot \frac{8}{17} = \frac{960}{17}\).

Площадь прямоугольника \(S = AB \cdot BC\).

\(S = \frac{960}{17} \cdot \frac{1800}{17} = \frac{1728000}{289}\).

Ответ: \(\frac{1728000}{289}\)