22. Диагональ АС ромба ABCD равна 12, а \(\text{tg}\angle BCA = \frac{4}{3}\). Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Дано:

• Ромб ABCD.
• Диагональ \(AC = 12\).
• \(\text{tg}\angle BCA = \frac{4}{3}\).

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей - O.

1. \(AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6\).
2. В прямоугольном треугольнике BOC: \(\angle BOC = 90^{\circ}\), \(OC = 6\).
3. Из условия \(\text{tg}\angle BCA = \frac{BO}{OC} = \frac{4}{3}\).
4. \(BO = OC \cdot \frac{4}{3} = 6 \cdot \frac{4}{3} = 8\).
5. Диагональ BD = 2 \(BO = 2 \cdot 8 = 16\).
6. Площадь ромба \(S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2}  AC  BD = \frac{1}{2}  12  16 = 96\).
7. Радиус вписанной окружности (r) в ромб можно найти по формуле: \(S = 2pr\), где p - полупериметр.
8. Найдем сторону ромба (a) по теореме Пифагора в \(\triangle BOC\): \(a^2 = BO^2 + OC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\).
9. \(a =  100 = 10\).
10. Периметр ромба = 4a = 4  10 = 40.
11. Полупериметр p = \(\frac{40}{2} = 20\).
12. \(r = \frac{S}{2p} = \frac{96}{2  20} = \frac{96}{40} = \frac{12}{5} = 2,4\).

Ответ: 2,4