25. Диагональ АС ромба ABCD равна 8, а \(\text{tg}\angle BCA = 0,75\). Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Дано:

• Ромб ABCD.
• Диагональ \(AC = 8\).
• \(\text{tg}\angle BCA = 0,75 = \frac{3}{4}\).

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей - O.

1. \(AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{8}{2} = 4\).
2. В прямоугольном треугольнике BOC: \(\angle BOC = 90^{\circ}\), \(OC = 4\).
3. Из условия \(\text{tg}\angle BCA = \frac{BO}{OC} = \frac{3}{4}\).
4. \(BO = OC \cdot \frac{3}{4} = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3\).
5. Диагональ BD = 2 \(BO = 2 \cdot 3 = 6\).
6. Площадь ромба \(S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2}  AC  BD = \frac{1}{2}  8  6 = 24\).
7. Радиус вписанной окружности (r) в ромб можно найти по формуле: \(S = 2pr\), где p - полупериметр.
8. Найдем сторону ромба (a) по теореме Пифагора в \(\triangle BOC\): \(a^2 = BO^2 + OC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\).
9. \(a =  25 = 5\).
10. Периметр ромба = 4a = 4  5 = 20.
11. Полупериметр p = \(\frac{20}{2} = 10\).
12. \(r = \frac{S}{2p} = \frac{24}{2  10} = \frac{24}{20} = \frac{6}{5} = 1,2\).

Ответ: 1,2