11. The HCF of two numbers is 4. Both numbers are more than 4 and less than 30. a) Show that the numbers could be 8 and 12. b) Show that the numbers are not 8 and 16. c) Find all the other possible values of the two numbers.

Перевод задания: НОД двух чисел равен 4. Оба числа больше 4 и меньше 30. а) Покажите, что числами могут быть 8 и 12. б) Покажите, что числа не могут быть 8 и 16. в) Найдите все остальные возможные пары чисел.

Solution

a) The factors common to 8 and 12 include 1, 2 and 4; their HCF is 4.

b) The HCF of 8 and 16 is 8, not 4, so this pair does not satisfy the condition.

c) The possible numbers are 8, 12, 16, 20, 24 and 28. Check the pairs: a pair has HCF 4 exactly when the corresponding quotients after division by 4 have HCF 1. Excluding the given pair (8, 12), the other pairs are:

(8, 20), (8, 28), (12, 16), (12, 20), (12, 28), (16, 20), (16, 28), (20, 24), (20, 28), and (24, 28).

Перевод решения:

а) Общие делители 8 и 12 включают 1, 2 и 4; их НОД равен 4.

б) НОД чисел 8 и 16 равен 8, а не 4, поэтому эта пара не подходит.

в) Возможные числа: 8, 12, 16, 20, 24 и 28. НОД пары равен ровно 4, если у соответствующих чисел после деления на 4 НОД равен 1. Исключая указанную пару (8, 12), получаем остальные пары:

(8, 20), (8, 28), (12, 16), (12, 20), (12, 28), (16, 20), (16, 28), (20, 24), (20, 28) и (24, 28).