№ 11. В равнобедренной трапеции ABCD (AB = CD = 5, BC ∥ AD), AD = 10. Диагональ BD перпендикулярна AB. Найти отмеченные углы при A, B, C и D.

Треугольник ABD прямоугольный при B, а AD = 10 — его гипотенуза. По теореме Пифагора \(BD=\sqrt{AD^2-AB^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt3\).

В треугольнике ABD \(\sin\angle BAD=BD/AD=\sqrt3/2\), поэтому \(\angle A=60^\circ\), а \(\angle ADB=30^\circ\).

Углы при основании AD равнобедренной трапеции равны, следовательно, \(\angle D=60^\circ\). Соседние углы трапеции supplementary, поэтому \(\angle B=\angle C=120^\circ\).

Диагональ BD делит угол B: \(\angle CBD=120^\circ-90^\circ=30^\circ\). Она также делит угол D, поэтому \(\angle BDC=60^\circ-30^\circ=30^\circ\).

Ответ: \(\angle A=60^\circ\), \(\angle CBD=30^\circ\), \(\angle C=120^\circ\), \(\angle BDC=30^\circ\).