№ 12. В равнобедренной трапеции ABCD (AB = CD, BC ∥ AD) проведены диагонали AC и BD, пересекающиеся в O. Даны ∠ABD = 31° и ∠BAC = 39°. Найти ∠D и ∠C.

В равнобедренной трапеции ось симметрии меняет местами A и D, B и C, а диагонали AC и BD. Поэтому угол \(\angle ACB\) равен \(\angle DBC\). Обозначим каждый из них через x.

Угол при B трапеции складывается из \(\angle ABD=31^\circ\) и \(\angle DBC=x\), значит \(\angle ABC=31^\circ+x\). В треугольнике ABC сумма углов равна \(180^\circ\): \(39^\circ+(31^\circ+x)+x=180^\circ\), откуда \(x=55^\circ\) и \(\angle ABC=86^\circ\).

Углы при верхнем основании равны, поэтому \(\angle C=86^\circ\). Соседние углы при боковой стороне supplementary: \(\angle D=180^\circ-86^\circ=94^\circ\).

Ответ: \(\angle D=94^\circ\), \(\angle C=86^\circ\).