№ 9. В равнобедренной трапеции ABCD (AB = CD = 7, BC ∥ AD) высота BH перпендикулярна AD, AH = 3. Диагональ BD делит угол D пополам. Найти AD.

Опустим из C перпендикуляр на AD. В равнобедренной трапеции горизонтальные отступы у оснований равны, поэтому проекция боковой стороны CD на AD равна \(AH=3\).

Рассмотрим направления лучей из D: вдоль DA единичное направление имеет горизонтальную составляющую \(-1\), а вдоль DC — \(-3/7\). Направление биссектрисы угла между ними пропорционально сумме этих направлений, поэтому для диагонали DB отношение горизонтального смещения к вертикальному равно \(10:h\), где h — высота трапеции. У отрезка DB вертикальное смещение также h, значит его горизонтальное смещение равно 10.

От D до вертикальной проекции B на AD по горизонтали расстояние равно \(AD-AH=AD-3\). Следовательно, \(AD-3=10\), откуда \(AD=13\).

Ответ: \(AD=13\).