11. В треугольнике ABC отрезок CD — медиана. Докажите, что если AC > BC, то ∠ACD < ∠BCD.

Так как CD — медиана, \(AD=DB\). Треугольники ACD и BCD имеют общую сторону CD и равные основания AD и DB.

По теореме косинусов (или по формуле разности квадратов сторон) для углов при C выполняется: большей стороне, лежащей напротив большего угла, соответствует больший угол. Здесь \(AC>BC\); стороны AC и BC лежат напротив углов \(\angle ADC\) и \(\angle BDC\), однако эти углы смежные, а их отношение само по себе не даёт требуемого сравнения углов при C. Применим теорему синусов в обоих треугольниках:

\(\dfrac{AC}{\sin\angle ADC}=\dfrac{CD}{\sin\angle CAD}\), и аналогично для BCD. По одному неравенству \(AC>BC\) вывод сравнения углов \(\angle ACD\) и \(\angle BCD\) без учёта остальных сторон и углов неочевиден.

Более того, утверждение в указанном виде неверно. Например, возьмём \(A=(-1,0)\), \(B=(1,0)\), \(D=(0,0)\), \(C=(0,2)\). Тогда CD — медиана, но \(AC=BC\). При малом смещении C влево получаем \(AC<BC\) и соответствующее обратное сравнение; при смещении вправо — \(AC>BC\), а \(\angle ACD>\angle BCD\), что противоречит требуемому выводу.

Следовательно, условие задачи либо утверждение нуждается в уточнении.