2. Докажите, что медиана AM треугольника ABC меньше полусуммы сторон AB и AC.

Обозначим через A₁ точку, симметричную A относительно M. Поскольку AM — медиана, M — середина BC; по построению M — середина AA₁. Значит, ABA₁C — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма получаем A₁B = AC. В треугольнике ABA₁ по неравенству треугольника:

\(AA_1 < AB + BA_1 = AB + AC\).

Так как \(AA_1 = 2AM\), то \(2AM < AB + AC\), откуда

\(AM < \dfrac{AB+AC}{2}\).