8. На медиане AM треугольника ABC выбрана точка K так, что AK = BM. Известно, что ∠AMC = 60°. Докажите, что AC = BK.

Так как AM — медиана, M — середина BC, поэтому \(BM=MC\). Условие даёт \(AK=BM=MC\). Кроме того, B, M, C лежат на одной прямой, а \(\angle AMC=60°\), следовательно, \(\angle AMB=120°\).

Рассмотрим треугольники AMC и BMK. Имеем \(MC=BM\), \(AM=AK+KM\), но из данных не следует равенство \(AM=MK\); поэтому непосредственное применение признака равенства треугольников невозможно.

Обозначим \(BM=MC=x\), \(AK=x\), \(KM=y\), тогда \(AM=x+y\). По теореме косинусов в треугольнике AMC:

\(AC^2=(x+y)^2+x^2-2x(x+y)\cos60°=x^2+y^2+xy\).

В треугольнике BMK угол между MB и MK равен \(120°\), поэтому \(BK^2=x^2+y^2-2xy\cos120°=x^2+y^2+xy\). Следовательно, \(AC^2=BK^2\), а значит, \(AC=BK\).