4. В треугольнике ABC медиана BM вдвое меньше стороны AB и образует с ней угол 40°. Найдите ∠ABC.

Рассмотрим треугольник ABM. По условию \(BM=\dfrac{AB}{2}\), а \(\angle ABM=40°\). По теореме косинусов:

\(AM^2=AB^2+BM^2-2\cdot AB\cdot BM\cos40°\).

Подставляя \(BM=\dfrac{AB}{2}\), получаем \(AM^2=AB^2(\frac54-\cos40°)\).

Так как M — середина AC, \(AC=2AM\). В треугольнике ABC сторона AC больше AB: действительно, \(AM^2>\dfrac{AB^2}{4}\), поскольку \(1>\cos40°\); значит, \(AC>AB\).

Однако эти данные не задают единственный угол при B: положение точки C на луче BM, продолженном за M, фиксирует длину AC, но угол ABC зависит от конфигурации? Поскольку A, M и B образуют известный треугольник, C однозначно определяется как отражение A относительно M. Тогда искомый угол — угол между BA и BC, который можно найти по координатам.

Положим \(B=(0,0)\), \(A=(1,0)\), а луч BM образует с BA угол 40° и \(BM=0.5\). Тогда \(M=(0.5\cos40°,0.5\sin40°)\), а \(C=2M-A=(\cos40°-1,\sin40°)\). Вектор BA направлен под углом 0°, а BC — под углом \(\arg(C)\). Получаем \(\angle ABC=70°\).

Ответ: \(70°\).