11. В треугольнике ABC точка D — середина AC (AD = DC), BD = m, ∠ABD = α, ∠DBC = β. Найти AC.

Обозначим \(AD=DC=s\), а углы при A и C — соответственно A и C. Тогда \(A+C=\alpha+\beta\). По теореме синусов в треугольниках ABD и CBD:

\(s=\frac{m\sin\alpha}{\sin A}\), \(s=\frac{m\sin\beta}{\sin C}\).

Равенство половин основания даёт \(\frac{\sin A}{\sin C}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}\). Это условие само по себе не определяет A и C однозначно, поэтому длину основания из одних m, α и β в общем случае определить нельзя. Нужны численные значения углов или дополнительное условие.