11. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 2, sin A = √17/17. Найдите BC.

Дано:

Прямоугольный треугольник ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \), \( AC = 2 \), \( \sin A = \frac{\sqrt{17}}{17} \).

Найти: BC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике синус угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):

\[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]

Косинус угла A равен отношению прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB):

\[ \cos A = \frac{AC}{AB} \]

Найдем \( \cos A \) из основного тригонометрического тождества \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \):

\[ \cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{\sqrt{17}}{17}\right)^2 = 1 - \frac{17}{17^2} = 1 - \frac{17}{289} = \frac{289 - 17}{289} = \frac{272}{289} \]

\[ \cos A = \sqrt{\frac{272}{289}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 17}}{17} = \frac{4\sqrt{17}}{17} \]

Теперь найдем гипотенузу AB:

\[ AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{2}{\frac{4\sqrt{17}}{17}} = \frac{2 \cdot 17}{4\sqrt{17}} = \frac{34}{4\sqrt{17}} = \frac{17}{2\sqrt{17}} = \frac{17\sqrt{17}}{2 \cdot 17} = \frac{\sqrt{17}}{2} \]

Наконец, найдем BC:

\[ BC = AB \cdot \sin A = \frac{\sqrt{17}}{2} \cdot \frac{\sqrt{17}}{17} = \frac{17}{2 \cdot 17} = \frac{1}{2} \]

Ответ: 1/2