6. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A = 0.4, AC = 3√21. Найдите AB.

Дано:

Прямоугольный треугольник ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \sin A = 0.4 \), \( AC = 3\sqrt{21} \).

Найти: AB.

Решение:

В прямоугольном треугольнике синус угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):

\[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]

Косинус угла A равен отношению прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB):

\[ \cos A = \frac{AC}{AB} \]

Из второго равенства выразим AB:

\[ AB = \frac{AC}{\cos A} \]

Нам нужно найти \( \cos A \). Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \):

\[ \cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (0.4)^2 = 1 - 0.16 = 0.84 \]

\[ \cos A = \sqrt{0.84} = \sqrt{\frac{84}{100}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 21}}{10} = \frac{2\sqrt{21}}{10} = \frac{\sqrt{21}}{5} \]

Теперь найдем AB:

\[ AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{3\sqrt{21}}{\frac{\sqrt{21}}{5}} = 3\sqrt{21} \cdot \frac{5}{\sqrt{21}} = 3 \cdot 5 = 15 \]

Ответ: 15