5. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 4, sin A = 3√34/34. Найдите BC.

Дано:

Прямоугольный треугольник ABC, \( \angle C = 90^{\circ} \), \( AC = 4 \), \( \sin A = \frac{3\sqrt{34}}{34} \).

Найти: BC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике синус угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB):

\[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]

Косинус угла A равен отношению прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB):

\[ \cos A = \frac{AC}{AB} \]

Найдем \( \cos A \) из основного тригонометрического тождества \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \):

\[ \cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - \left(\frac{3\sqrt{34}}{34}\right)^2 = 1 - \frac{9 \cdot 34}{34^2} = 1 - \frac{9}{34} = \frac{25}{34} \]

\[ \cos A = \sqrt{\frac{25}{34}} = \frac{5}{\sqrt{34}} = \frac{5\sqrt{34}}{34} \]

Теперь найдем гипотенузу AB:

\[ AB = \frac{AC}{\cos A} = \frac{4}{\frac{5\sqrt{34}}{34}} = \frac{4 \cdot 34}{5\sqrt{34}} = \frac{136}{5\sqrt{34}} = \frac{136\sqrt{34}}{5 \cdot 34} = \frac{136\sqrt{34}}{170} = \frac{4\sqrt{34}}{5} \]

Наконец, найдем BC:

\[ BC = AB \cdot \sin A = \frac{4\sqrt{34}}{5} \cdot \frac{3\sqrt{34}}{34} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 34}{5 \cdot 34} = \frac{12}{5} \]

Ответ: 12/5